Situación
La
unidad de gestión de riesgos de una institución financiera analiza las premisas
para el cálculo de un escenario de estrés, bajo la perspectiva que se presente
una gran pérdida monetaria, digamos u.
Se piensa que esta pérdida solo se experimenta en ocasiones muy raras; p.ej.
una vez cada 5-10 años.
La
preocupación del gerente de riesgos se asocia a cualquier ocasión cuando la
variable aleatoria de pérdida L,
exceda a u. Como resultado, el nuevo
foco de atención está en modelar la distribución condicional de Y = L-u dado que la pérdida excede a u.
Basado
en el post anterior de la “Importancia de las colas” se fundamenta un marco
teórico para el análisis de las pérdidas extremas, la situación expuesta ilustra
como utilizando la teoría de valores extremos, se puede resolver en la práctica
este tipo de problemas. En este caso la aproximación a utilizar se asocia a la metodología
de Peaks over Thereshold (POT) o Picos sobre el Umbral.
Bases
para la aproximación de Picos sobre el Umbral (POT)
Para
este enfoque es necesario conocer el siguiente resultado teórico (2):
Sean
{X1, … , Xn} variables aleatorias i.i.d., sea u el umbral fijado y {Xi1, … , Xip} donde i1, … , ip ∈ {1,…,n} y son todos
aquellos valores mayores que el umbral u.
La
distribución de los excedentes yij = Xij – u , j ∈ {1,…,p} converge a la siguiente distribución,
conocida como Distribución de Pareto Generalizada:
GPD(y;σ,ƹ)= 1-
Donde:
σ= σ + ƹ(u-µ)> 0
El
parámetro µ corresponde con la localización (como la media lo es en la
distribución normal), el parámetro σ con
la escala (como la desviación estándar lo es a una distribución normal) y ƹ con la forma o índice de cola (indica el tamaño de la cola de
la distribución) y corresponde a la Distribución Generalizada de Valores
Extremos que adquiere la muestra.
Cuando
el índice de cola arroja un valor cero la distribución corresponde a una Gumbel,
si es menor que cero a una distribución de Weibull y cuando es mayor a
cero a una distribución de Frechet.
Escoger
el umbral
Si
aplicamos esta metodología para el cálculo de un VaR estresado o extremo, su
valor dependerá del valor del umbral u. Una
de las consideraciones claves a tomar en cuenta cuando seleccionamos el umbral
es que debería ser lo suficientemente alto, para que la aproximación presentada
en las expresiones arriba, sean razonablemente precisas. El resultado mejora a
medida que crece u, sin embargo,
lamentablemente puede crecer tanto que la estimación estadística se vuelve
inútil. De manera que tan alto como sea el umbral, podemos tener resultados de
baja significancia estadística, como si el umbral es bajo, el valor se
deteriora en una distribución generalizada de Pareto.
Generalmente
se ha utilizado el Valor en Riesgo como umbral, ya que identifica el límite del
cuantil donde comienzan aquellos valores por encima del VaR, sin embargo esto
no debería ser una regla ya que el valor puede no estar relacionado con las
experiencias históricas o probables a futuro que se quieran analizar.
Cómo
aplicarlo en la práctica para riesgo de mercado
1.-
Tomar la serie de rendimientos en un período previamente seleccionado
2.-
Calcular como base el Valor en Riesgo en el horizonte de tiempo y nivel de
confianza escogido, utilizando preferiblemente las metodologías históricas o de
simulación de Monte Carlo.
3.-
Tomando como umbral el resultado del Valor en riesgo del punto anterior,
extraer todos los valores que exceden dicho umbral.
4.-
Con los valores extremos, se estiman los parámetros de la Distribución de
Pareto Generalizada usando estimadores de máximaverosimilitud. Graficar la distribución generalizada de Pareto con
los parámetros calculados.
5.-
Obtener el VaR extremo mediante el valor de corte dentro de la distribución de
los valores extremos graficada al nivel de significancia seleccionado.
Cómo
aplicarlo en la práctica para riesgo de mercado con el software Crystal Ball
1.-
Tomar la serie de rendimientos en un período seleccionado (base diaria
preferiblemente) o calcular las ganancias y pérdidas del activo o portafolio
expuesto. Realizar el ajuste de distribución de los datos para determinar los
parámetros estadísticos.
2.-
Calcular el VaR por simulación de Monte Carlo. Tomar tanto como variable de
entrada y pronóstico el promedio de la variable de ganancias y pérdidas (utilizando
los parámetros de la distribución obtenidos en el punto anterior).
3.-
Ordenar los rendimientos o ganancias y pérdidas diarias de menor a mayor y por
diferencia con el VaR calculado en el punto 2, determinar los valores por
encima de este.
4.-
Al grupo de datos que exceden el VaR, utilizar la herramienta “Ajuste de
distribución de datos” y validar a que distribución generalizada de
valores extremos se ajustan (Weibull,
Frechet, Gumbell, Pareto, etc.), en caso que no se ajuste a algunas de las
distribuciones, la metodología no puede ser aplicada.
5.-
Correr con los datos de valores extremos la simulación de Monte Carlo. El promedio
de los valores de ganancias y pérdidas que exceden el umbral se define
tanto como variable de entrada o supuesto (utilizando los parámetros obtenidos en el paso anterior), como de variable pronóstico.
6.-
Con la distribución de frecuencia obtenida de la simulación, calcular el VaR
extremo al nivel de confianza seleccionado.
Referencias:
1) Video Youtube 0398 Método de máxima verosimilitud. Curso estadística inferencial. Universidad Autónoma de México.
2)Quantdare. https://quantdare.com/teoria-valores-extremos-2
